Sortez le filet de boeuf du refrigerateur 30 a 45 minutes avant cuisson.

Sechez-le soigneusement avec du papier absorbant (important pour bien griller).

Dans une petite casserole, mettez echalotes, vinaigre, vin blanc, eau, la moitie de l'estragon, et le cerfeuil si vous en utilisez.

Portez a petite ebullition puis laissez reduire a feu moyen jusqu'a obtenir environ 2 a 3 c. a soupe de liquide.

Filtrez (ou laissez les echalotes si vous aimez une sauce plus rustique), puis laissez tiedir.

Preparez un bain-marie: une casserole avec 2 a 3 cm d'eau frémissante, puis un bol au-dessus sans toucher l'eau.

Dans le bol, fouettez les jaunes d'oeufs avec 1 a 2 c. a soupe de reduction tiede.

Fouettez sans arret sur le bain-marie jusqu'a ce que le melange epaississe en texture "sabayonneuse" (mousseux et nappant). Ne chauffez pas trop fort: si les oeufs coagulent, la sauce est fichue.

Hors du feu (ou sur feu tres doux), versez le beurre clarifie en filet tout en fouettant pour emulsionner.

Ajustez la texture: trop epaisse, ajoutez 1 c. a cafe d'eau tiede; trop liquide, continuez a fouetter quelques instants sur feu tres doux.

Assaisonnez avec sel, poivre, une pointe de Cayenne/Espelette si souhaite. Ajoutez le reste de l'estragon hache. Un filet de citron peut "reveiller" la sauce si besoin.

Gardez la sauce bearnaise tiède (idealement 45-55 C), au bain-marie tres doux, en remuant de temps en temps.

Assaisonnez la viande avec sel et poivre juste avant cuisson.

Faites chauffer une poele en fonte a feu vif. Ajoutez l'huile, puis saisissez le filet: piece entiere 2 a 3 minutes par face puis les cotes; medaillons 2 minutes par face pour saignant, 2 min 30 a 3 min pour a point (selon epaisseur).

Baissez legerement le feu, ajoutez le beurre, l'ail et le thym. Arrosez la viande avec le beurre mousseux 1 a 2 minutes.

Controlez la cuisson au thermometre: saignant 50-52 C (temperature finale apres repos); a point 56-58 C. Retirez la viande 2 C avant la cible, la temperature remontera au repos.

Deposez la viande sur une assiette chaude, couvrez legerement de papier aluminium et laissez reposer 8 a 10 minutes.

Tranchez le filet de boeuf si c'est une piece entiere (tranches de 2 a 3 cm).

Nappez d'un peu de sauce bearnaise ou servez-la a part. Ajoutez une pincée de fleur de sel et un tour de moulin a poivre.