Sortez les filets de cabillaud du réfrigérateur une dizaine de minutes avant la cuisson pour éviter un choc thermique.

Épongez soigneusement chaque morceau à l'aide de papier absorbant pour retirer l'excédent d'humidité.

Salez et poivrez légèrement les deux faces des filets.

Dans une grande poêle antiadhésive, faites chauffer l'huile d'olive et la moitié du beurre à feu moyen-vif.

Déposez les filets de cabillaud dans la matière grasse bien chaude.

Laissez cuire pendant 3 à 4 minutes sans y toucher, jusqu'à ce qu'une légère croûte dorée se forme.

À l'aide d'une spatule adaptée, retournez délicatement le poisson et poursuivez la cuisson pendant 2 à 3 minutes supplémentaires selon l'épaisseur des pavés. La chair doit devenir opaque et nacrée à cœur.

Retirez les filets de la poêle et réservez-les sur une assiette chaude, recouverts d'une feuille de papier d'aluminium pour conserver la chaleur.

Dans la même poêle, baissez le feu à intensité moyenne et ajoutez le reste du beurre.

Faites suer l'échalote émincée et l'ail pendant environ 2 minutes, jusqu'à ce qu'ils deviennent translucides sans coloration excessive.

Versez le vin blanc sec pour déglacer la poêle en grattant doucement les sucs de cuisson attachés au fond avec une cuillère en bois.

Laissez réduire de moitié pendant environ 2 à 3 minutes.

Incorporez la crème fraîche, la moutarde à l'ancienne et la moutarde fine. Mélangez délicatement à l'aide d'un fouet.

Laissez mijoter à feu doux pendant 3 minutes jusqu'à ce que la sauce nappe le dos d'une cuillère.

Ajoutez le jus de citron, rectifiez l'assaisonnement avec du sel et du poivre moulu.

Remettez les filets de cabillaud dans la sauce pendant une minute pour bien les réchauffer et les enrober.

Répartissez le poisson dans des assiettes de service, nappez généreusement de sauce moutarde crémeuse et parsemez de persil frais ciselé avant de servir bien chaud.